Рис. 1

 

 

Текст задачи:

Самолет (реактивный или винтовой) стоит на взлетной полосе с подвижным покрытием (типа транспортера). Покрытие может двигаться против направления взлета самолета. Оно имеет систему управления, которая отслеживает и подстраивает скорость движения полотна таким образом, чтобы скорость вращения колес самолета была равна скорости движения полотна. Вопрос: сможет ли самолет разбежаться по этому полотну и взлететь?

 

Решение:

Вновь, первым доводом будет то, что задача сама по себе поставлена не верно. Кроме того, что ни слова не сказано о силе трения между полотном и колесом, которая в данном случае играет роль силы сцепления. Коме того,  как выяснилось автор ни грамма не смыслит в механике. Вслушайтесь в постановку задачи: «скорость вращения колес самолета была равна скорости движения полотна». В данном случае глупость заключается в том, что скорость вращения – есть угловая скорость w - скорость поворота тела вокруг некоторой оси, измеряется в рад/с – величина поворота в секунду. А скорость движения – по логике есть линейная скорость V – скорость перемещения тела относительно какого-либо начала координат, измеряется в м/с – величина перемещения в секунду. Эти две величины имеют определенную зависимость между собой, но НИКОГДА не могут быть равны, как масса не может быть равна силе, а ускорение – перемещению. Исходя из этого, можно посчитать, что автор ошибся либо в обоих случаях имелось ввиду угловая либо в обоих случаях имелось ввиду линейная скорости.

 

I. Рассмотрим простейшую ситуацию, когда самолет, а значит и его колесо находиться на неподвижной поверхности (Рис. 1а). Центр колеса связан с самолетом. самолет под действием турбины приобретает некоторую скорость V. так как центр колеса связан напрямую с самолетом, то центр колеса вместе с самолетом будет иметь ту же скорость, т.е. V_c = V. Колесо станет совершать плоско-параллельное движение, которое описывается движением центра колеса С и угловой скоростью вращения колеса вокруг центра w. Из теории Механики известно, что при плоско-параллельном движении всегда существует некоторый Мгновенный Центр Скоростей (МЦС), скорость которого равна нулю, скорость любой другой точки равна произведению угловой скорости вращения тела на расстояние этой точки до МЦС. Так же из теории известно, что для определения положения МЦС достаточно знать направление скорости двух точек. строятся перпендикуляры к направлениям скоростей и на пересечении перпендикуляров будет находиться МЦС. В данном случае известна лишь одна скорость. Скорость центра колеса С. Но нам известна скорость точки касания с поверхностью. Так как поверхность неподвижна, скорость точки касания с поверхностью равна нулю, стало быть эта точка и будет точка Р (МЦС). как говорилось ранее скорость любой другой точки есть произведение угловой скорости вращения на расстояние до МЦС. Таким образом:

Таким образом можно найти угловую скорость вращения колеса. Направление w указан на рисунке.

 

II. Рассмотрим случай данной задачи, когда полотно, на котором находиться колесо самолета движется в противоположную сторону с некоторой скоростью V_E, Е – точка касания колеса с покрытием (Рис 1б). Скорость V_E, соответствует определенному условию, которое как показано в водной части решения поставлено не корректно, чем решение задачи затруднено. Предположим, что в условии имелись ввиду линейные скорости колеса и полотна, т.е. условие выглядит следующим образом:

для непосвященного в механику читателя важно заметить, что любая векторная величина, как то скорость в данной задаче, при обозначении без верхнего знака вектора “– “ означает лишь модуль этой величины (в математики – длина вектора), то есть саму величину скорости, без учета направления. Направление же в данном случае, как было указано в данных задаче направлено в противоположную сторону направлению взлета самолета.

направлены они в противоположные стороны. Как было указано выше, знание скоростей двух точек тела достаточно, для определения положения P (МЦС).

                =>

;       =>    

Видно, что при одинаковых V_С и R угловая скорость колеса в рассмотренном только что случае будет в два раза больше, при этом скорость центра колеса, а значит и скорость самолета остается такой же.

Вывод: Самолет будет двигаться с такой же скоростью, что и при разгоне на неподвижной поверхности, но колеса самолета будут вращаться в два раза быстрее, на характер движения самого самолета это никак не повлияет.

 

      

Рис. 2

 

III. Рассмотрим случай, если бы условие было другое. То есть условие поставленное задачей выглядело бы так:

 (Рис 2)

Данное условие исходит из предположения, что автор задачи в условии имел ввиду угловую скорость вращения колеса, соответственно равной некоторой угловой скорости определяющей скорость движения полотна. Эта угловая скорость есть скорость вращения валиков, на которых и расположено полотно w_В. тогда решение задачи и ее исход обуславливается соотношением радиусов валиков и колеса. сразу исключим из решения возможность того, что радиус валиков больше радиуса колеса, так как валики подобных покрытий принято изготовлять достаточно малыми.

Допустим, что R_К = R_В = R, тогда:

           =>        =>    C – МЦС.

Таким образом при выполнении данного условия Мгновенный Центр Скоростей окажется в точке С, центре колеса, то есть Центр колеса будет неподвижен, а скорость центра колеса, равно как и всего самолета равна нулю, то есть самолет не сдвинется с места.

 

Допустим, что  R_К ≠ R_В,  R_В < R_К, тогда:

 

           =>        => 

 CP = R_К – EP   =>

 

Таким образом Центр колеса, а значит и сам самолет будут двигаться с той же скоростью, что и при разгоне по неподвижной поверхности (п I), но скорость вращения колеса будет несколько больше. При этом если минимизировать радиус валика, то есть задать условие, что R_В –> 0, то движение самолета практически будет таким же, как и при движении по неподвижной поверхности.

Вывод: в зависимости от соотношений радиусов валиков и колеса различное движение будет совершать самолет. В данных задачи о радиусе валиков ничего не сказано, и если предположить, что радиус  валиков и колеса одинаков, получим, что самолет будет неподвижен, иначе условие не будет выполняться. Если радиус валика меньше радиуса колеса, то характер движения будет подобен случаю II, если же радиус валика будет больше, то колесо самолета станет вращаться в другую сторону, и характер движения самолета определиться силой трения между поверхностью и колесом, если она достаточно велика, то вместе с полотном самолет будет двигаться в обратном движению полотна направлении, однако для этого необходима очень большая сила трения. В реальных же условиях, вероятнее всего силы трения между поверхностью и колесом будет недостаточно и колесо начнет скользить по поверхности оставаясь неподвижным.

 

IV Сила тяжести тела легко определяется по формуле: P = m*g, где m – масса тела, а g – ускорение свободного падения, для простоты вычислений часто принимаемый за 10.  таким образом для определения силы тяжести достаточно знать массу тела, поэтому иногда силу тяжести так и измеряют в массе, то есть в килограммах, имея ввиду соотношение между силой тяжести и массой. Скорость какой-либо точки при вращении равна угловой скорости умноженной на расстояние точки от оси вращения. При вращении любого колеса скорость  движения любой точки на периферии колеса определяется как V = w*R, где w - угловая скорость колеса, а R – радиус колеса.  Предположим, что автор говоря о равенстве скорости движения полотна и скорости вращения колеса предполагал именно эту зависимость, опуская радиус колеса, получим иное условие задачи:

Однако, видно, что данное условие в сути своем не отличается от условия II при равенстве радиусов валиков и колеса, только радиус валика уже не имеет значения. Это значит, что при данном условии точка С так же как и самолет, будут неподвижны, самолет не сдвинется с места, а значит не взлетит.

 

Ответ:

 

I. Взлетит.

II. Может взлетит, может нет.

III. Не взлетит.